TỔNG CÁC SỐ NGUYÊN (N)
Võ Văn Rân from www.khoahoc.net
Cách nay vài tuần, con trai tôi gọi điện thoại nói, có anh bạn là nghiên cứu sinh Toán, (PhD) gặp “vấn đề” mà các Giáo sư của anh nói, đây là vấn đề chưa giải quyết, mời bà con có quan tâm về Toán cùng tham gia, giải quyết cho vui, tuy toán nầy thuộc cổ điển, vấn đề đặt ra như sau
Gọi S là tổng số các số nguyên thứ tự, từ 1, 2, 3, 4, ….
Ví dụ:
S1 = 1 + 2 = 3
S2 = 1 + 2 + 3 = 6
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S4 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
….
Tổng n số hạng đầu của cấp số:
Nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên là 5050 khi học tiểu học
Người ta không biết tổng các số nguyên nầy đến vô cực, còn đúng không ?
Chỉ có vậy thôi, nghe thì đơn giản, hồi đi học mình có học cấp số cộng, mà sai số ở đây là 1, nhưng lâu quá không nhớ cách chứng minh
Tổng quát ta có dãy số cộng với phương pháp như sau:
Tiếp tục thử với n = 4, n = 5, n = 6, ta thấy đúng, nhưng với những giá trị của n tiến đến vô cực người ta chưa biết có đúng hay không? Có lẽ đây là vấn đề được các nhà Toán học hiện nay đang quang tâm (?)
Do đó chúng ta thử tìm một phương pháp nào đó, để chứng minh phương pháp ở trên là đúng.
Thử hỏi tổng số các số nguyên thứ tự
S = 1 + 2 + 3 + ….. + (số nguyên thứ một tỷ lẽ một) bằng bao nhiêu (?) dĩ nhiên số nguyên thứ một tỷ lẽ một là “109 + 1”
S = 1 + 2 + 3 + ….. + 109 + 1 = ?
Chả nhẻ ta ngồi mò mẫn cộng cho hết 109 + 1, từ số nguyên đầu tiên, đến số nguyên 109 + 1, nếu số nầy lớn đến hàng chục Trillion, Quadrillion, … cho đến vô cực, chúng ta không tài nào mò mẫn được. Đó là vấn đề đặt ra cho chúng ta, cho đến nay vẫn còn bỏ ngỏ
Thật ra đây là cấp số cộng mà Nhà Toán học Aristotle (384 – 322 Trước Công Nguyên) đã có phương pháp cho tổng dãy số nầy, (Arithmetic Series)
Ta gọi:
a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b, …., a+(n-1)b là những số nguyên đầu tiên
Chúng ta có thể tính tuần tự như sau
n = 2
S = a + (a+b) = 2a + b = 1[2a + (1)b] = n/2[2a + (n-1)b]
n = 3
S = a + (a+b) + (a+2b) = 3a + 3b = 3(a+b) = n/2[2a + (n-1)b]
n = 4
S = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) = 4a + 6b = 2(2a+3b) = n/2[2a + (n-1)b]
n = 5
S = a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+(a+4b) = 5a+10b = 5(a + 2b) = n/2[2a + (n-1)b]
Tổng quát:
S = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + a+(n-1)b
S =
a =1 và b = 2 và i à ∞
Công thức nầy với a=1, b=2, ta chỉ tính được những số lẻ đầu tiên (2k+1) gọi Tổng nầy là S1
Ví dụ: n = 5
S1 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b)
S1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Áp dụng công thức ta có
S1 =
S1 = 5/2[2 + (5-1) 2] = 25
Còn Tổng các số chẳng (2k) đầu tiên, như 2, 4, 6, 8, …. với công thức trên ta không dùng được
Do đó, ta viết lại công thức trên như sau, để ta có thể dùng được cho Tổng số các số chẳng, với số đầu tiên là 2 (a = b = 2),
Tương tự như trên:
S2 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + a+(n-1)b
Tổng nầy là S2 chứng minh tương tự trên, thay a = b = 2, ta có
S2 =
a = b = 2, i à ∞
Ví dụ: n =8
S2 = a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + (a+5b) + (a+6b) + (a+7b)
S2 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 = 72
Áp dụng công thức S2 ta có
S2 = 8/2[(2×2) + (8-1)2] = 72
Một cách Tổng quát gọi S là tổng các số nguyên đầu tiên và N là số nguyên cuối cùng của dãy số cộng, ta có
S = S1 + S2
Ví dụ
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ….+ (N-1) + N