Trang chủ Wednesday, December 12th, 2018

Gần nửa đời người theo đuổi một bài thơ Toán học

[ Saturday, 28 January, 2012 ]

Vô Biên – Gần nửa đòi người theo đuổi một bài thơ Toán học

1 – Hai lần kỳ ngộ.

1.1 – Một người nông dân học rộng.

Năm 1946 ; khi cuộc chiến tranh chống Pháp bùng nổ thì tôi theo gia đình cô chú tôi tản cư từ thỉ trấn Hưng-Yên về làng Đoàn-Đào. Ơ, đó, trong một buổi họp mặt, một người nông dân kể rằng:

“Ngày xưa, một vị tướng, khi muốn biết số quân, “dưới trướng» thì ra lệnh cho quân lính xếp thành từng hàng 3 người, rồi thành từng hàng 5 người ; rồi thành từng hàng 7 người. Mỗi lần như vậy thì ông chỉ ghi số dư, nghiã là số lính còn thừa lại vì không làm đủ thêm một hàng nữa. Vị tướng dùng ba số dư đã ghi mà suy tính ra được số lính theo một cách thức trình bày trong một bài thơ “bốn câu, bảy chữ”.

Nói xong, ông lớn tiếng đọc luôn bài thơ đó, tôi lắng tai nghe, nhưng chỉ nhớ kịp được câu đầu là: “Tam nhân đồng hành thất thập hi» và câu cuối là: “Trừ bách linh ngũ định vi kỳ».

Ít lâu sau thì tôi phải rời làng Đoàn Đào đi nơi khác. Từ đó, tôi vẫn tiếc là đã không ghi chép được và đã không biết được bài thơ kỳ lạ kia đã nói gì ; mà không biết làm thế nào để tìm thấy lại bài thơ đó.

1.2 – Một anh Thạc sĩ biết nhiều.

Vào khoảng năm 1991 thì tình cờ tôi được biết rằng hãng tôi làm ở gần Ba lê vừa tuyển dụng một anh người Việt đã tốt nghiệp Thạc sĩ Toán học và Tiến sĩ Vật lý. Khi tôi tìm được dịp đến gặp anh và kể cho anh nghe câu chuyện về bài thơ kỳ lạ kia, thì anh bảo: “Tôi nghe nói rằng trong Số học có một định lý mà người Anh gọi là “The chinese remainder theorem». Tôi chắc bài thơ kia có liên hệ với định lý này.
Nhờ sự chỉ dẫn của anh bạn mà tôi tìm được ba điều: — một bài toán — một bài thơ chỉ quy tắc giải bài toán đó. (Bài thơ này là bài thơ tôi đã được nghe ở làng Đoàn Đào) —và một Định lý (quy tắc cách giải vừa nói, áp dụng định lý này)

2 – Bài toán Hàn Tín Điểm Binh.

Nội dung bài toán – theo ngôn ngữ hiện thời – thì như sau:
“Khi quân lính của tướng Hàn Tín xếp thành từng hàng 3 người thì số dư là “a” , thành từng hàng 5 người thì só dư là “b”, thành từng hàng 7 người thì số dư là “c”.Vậy “x” số quân của tướng Hàn Tín là thế nào ?”. Tìm trị số của “x” khi: a = 2, b = 3, c = 2.

Bài toán này đã được trình bày trong cuốn “Tôn tử Toán Kinh” ( thế kỷ III Công nguyên, thời Hậu Hán ) của Tôn Võ và trong cuốn “Số thư củu chương” (1247 CN, triều Minh ) của Trinh Đại Vỹ.

Lời chú 1 “x” là số quân, bảo rằng: “Khi quân lính xếp thành từng hang 3 người thì số dư là “a” thì cũng như bảo rằng: “Số dư của tính chia (x/3) = a” và cũng như viết: “sd (x/3) = a”. Vậy bài toán trên đây có thể trình bày được như sau:

“Giải hệ thống phương trình đồng dư bậc nhất: sd (x/3) = a, sd (x/5) = b, sd (x/7) = c. Tìm trị số của “x” khi: a = 2, b = 3, c = 2”.

3 – Bài thơ chỉ quy tắc giải.

3.1 – Dưới đây là một đoạn nói về bài thơ chỉ quy tắc giải bài toán trên đây, trích ra từ bài “HànTín Điểm Binh” của G.S. Hoàng Xuân Hãn:
Quy tắc …. tóm tắt trong bốn câu thơ đọc: dưới đây:

Tam nhân đồng hành thất thập hi.
Ngũ thụ mai hoa trấp nhất chi.
Thất tử đoàn viên chính bán nguyệt.
Trừ bách linh ngũ tiện đắc tri.

Dịch:

Ba người cùng đi ít bảy chục.
Năm cỗi mai hoa hăm mốt cành.
Bảy gã xum vầy vừa giữa tháng.
Trừ trăm linh năm biết số thành.

Bài thơ này của Trình Đại Vỹ đời nhà Minh, dùng chữ sách có dính líu đến những số cần biết. Như ở câu đầu là dùng câu “tam nhân đồng hành tất hữu ngã sư” và câu “nhân sinh thất thập cổ lai hi”. Tôi xin dịch đổi lại như sau cho dễ hiểu:

Ba người cùng hàng, nhân bảy mươi.
Năm người cùng hàng, nhân hăm mốt.
Bảy người cùng hàng, nhân mười lăm.
Trừ trăm linh năm thì tính suốt.

Nghĩa vẫn là tối tăm. Nhưng ta phải hiểu rằng bài trên là chỉ để nhớ mấy số quan hệ trong quy tắc mà thôi…
GS. Hoàng Xuân Hãn
(HXH tập I trang 1081)

(Bài này tôi đã đọc ở vị trí Mạng:
http://www.hocxa.com/HocToan/BaiDocThem/HanTinDiemBinh.php )

3.2 – Nói cho rõ – theo ngôn ngữ hiện thời – thì bài thơ bảo rằng:

a) Một lời giải của bài toán trên đây là x* = 70a + 21b + 15c

b) x > 0 là một lời giải của bài toán nếu và chỉ nếu “x” có dạng:
x = x(h) = x* + 105h = 70a + 21b + 15c + 105h , trong đó “h” là một đại số nguyên (xem “Lời chú 2b dưới đây) thoả thuận điều kiện x(h) > 0.
Thí dụ. Áp dụng cho trường hợp: a = 2, b =3, c = 2, thì ta có:
x* = (70 x 2) + (21 x 3) + (15 x 2) = 140 + 63 + 30 = 233 và
x(h) = x* + 105h = 233 + 105h trong đó “h” là một đại số nguyên thoả thuận điều kiện x(h) > 0 Nếu ta biết trước hai giới hạn “g” và “G” của số quân “x”: g < x < G với G – g < 105 thì cách điểm binh cho ta biết trị số chính xác của “x”. Thí dụ nếu ta biết trước rằng 1000 < x < 1100 thì ta có x (7) = 233 + 105 x 7 = 233 + 735 = 968 < 1000 < x(8) = 23 + 105 x 8 = 233 + 840 = 1073 < 1100 < x(9) = 233 + 105 x 9 = 233 + 945 = 1178. Vây chỉ có x (8) là nằm trong giới hạn và số quân chính xác là x = x(8) = 1073. 3.3 – Lời chú 2 2a) Câu thứ tư trong bài thơ: — tôi được nghe ở làng Đoàn Đào là “Trừ bách linh ngũ định vi kỳ” – Ông Hoàng Xuân Hãn đã sưu tầm là: “Trừ bách linh ngũ tiện đắc tri” — Ông Nguyễn Ngọc Tú đã được thân phụ ông dạy cho ngày ông còn bé là: “Hoà bách linh ngũ định vi kỳ”. (xem :http://vn.360plus.yahoo.com/ngoctu_kma106_37/article?mid=15 ) Tuy vậy tôi nghĩ rằng ba câu đó cũng có chung một nội dung Toán học. 2b) Vài định nghiã: i) Những số nguyên là: 0, 1, 2, 3, …v…v… iì) Những đại số nguyên là: …, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,… ìii) Hai số nguyên “m”, “n” là hai số nguyên tố cùng nhau nếu chúng có số chia chung độc nhất là “1” iv) Những số nguyên “m, n, …., s, t” là những số từng đôi nguyên tố cùng nhau nếu bất cứ hai số nào trong đó cũng là hai số nguyên tố cùng nhau. 4 -. Định lý số dư Trung Quốc (Định lý SDTQ). Hệ thống phương trình nói tới ở “Lời chú 1” trên đây là môt hệ thống phương trình đồng dư bậc nhất ( hệ thống PTĐD1). Định lý SDTQ nói về quy tắc giải những hệ thống PTĐD1: “Ta hãy coi Hệ thống PTĐD1: sd (x/m) = a, sd (x/n) = b,…..sd (x/s)) = f, sd (x/t) = g Trong đó: m, n, …,s, t; a, b, …,f, g là những số nguyên. a) Nếu m, n, …, s, t là những số “từng đôi nguyên tố càng nhau” thì: hê thống trên đây có một lời giải “x*». b) “x(h)” là một lời giải cuả hệ thống trên đây nếu và chỉ nếu “x(h)” có dạng: x(h) = x* + (mn…st) h, trong đó “h” là một đại số nguyên thoả thuận điều kiện x (h) > 0”.
Cách chứng minh định lý chỉ quy tắc giải hệ thống PTĐD1 và cho ta những lời giải x* và x(h) nói trên đây.
(Xem “The chinese remainder theorem” trong Wikipédia, bản tiếng Anh)
Lời chú 3.
3a) Trong Hệ thống PTĐD ở Lời chú 1, ta có m = 3, n = 5, p = 7. Những số 3, 5, 7 là những số từng đôi nguyên tố cùng nhau.
3b) Trong Định lý trên đây, điều kiện: “m, n, ….,s , t là những số từng đôi nguyên tố cùng nhau” là một điều kiên đầy đủ chứ không phải là một điều kiện cần thiết.

5 – Kết luận

Người nào, như tôi, tình cờ nghe được bài thơ trên đây thì không thể hiểu được gì. Thực ra thì phải được một “sư phụ” giảng cho quy tắc giải bài toán rồi mới có thể dùng bài thơ để dễ nhớ quy tắc mà sư phụ đã dạy. Tôi, nhờ có bạn bè chỉ dẫn và nhờ có Mạng, có Google và có Wikipédia thì mới tìm lại được bài thơ và mới hiểu được đầu đuôi bài toán “Hàn Tín điểm binh”. Tôi nghe nói rằng Định lý trên đây, ngày nay vẫn còn được dùng, nhất là trong điạ hạt Mật mã.

Vô Biên

Xem thêm : Khoa học thường thức