Đây sự thật là bài thi học sinh giỏi toán của Nga Sô mà cộng đồng toán học trên Internet chưa ai có bài giải. Thông lệ sau khi đề thi được công bố thì họ thi đua để giải và đăng liền trong vòng hai ngày. Tất cả các bài toán thi thế giới và các quốc gia đều được cộng đồng toán học trên mạng đăng bài giải tại

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?ml=1

và bài này tại

http://http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2013350&sid=e6a4f50f5d2a40a881cdae64ed2e08e1#p2013350

Bài toán như sau:

Bạn hãy cắt một tam giác thành ra đúng 3 mảnh mà ba mảnh này ghép lại thành một hình thoi.

Và đây là bài giải của Ban Biên Tập trường Thuận An

Problem 8 of the Russian Mathematical Olympiad 2010

In a acute triangle ABC, the median, AM, is longer than side AB. Prove that you can cut triangle ABC into three parts out of which you can construct a rhombus.

Solution

Geometrically, we know that any right triangle can be cut into three parts to form a rhombus. Let’s draw a circle with center M and diameter BC as shown. From A draw a line to parallel BC and meet the circle at D. Now denote (Ω) the area of shape Ω.

We have (DBC) = (ABC).

Let N be the mirror image of M across the diagonal DC. It’s easily seen that DNCM is a rhombus with (DNCM) = (DBC) = (ABC).

Let I and J be the midpoints of AB and AC, respectively. We have IJ || BC, and IJ = ½ BC.

Now move the rhombus DNCM to the left so that the midpoint of NC coincides with J. Point D -> P, N -> E, M -> Q and C -> F.

Now cut the triangle ABC into the three pieces with shape IBQ, AIQFJA and JFC. It’s easily seen that ΔIBQ = ΔIAP and ΔJFC = ΔJEA, and the three pieces fit into the rhombus PEFQ.

Further observation

Now that the problem has been solved, it’s easier to summarize the way to cut the triangle into three pieces which together form a rhombus. It is as follows:

Pick the midpoints I and J of AB and AC, respectively. Draw two identical circles with centers I and J and with their diameter being half the length of BC. They intercept BC at Q and F. Draw the line to parallel BC through A. This line should intercept the extensions of QI and FJ at P and E, respectively. The rhombus is PEFQ.