Bài thi toán châu Mỹ thuộc địa 1988
Have a little spare time. Let’s do math. This problem has not been solved since 1988.
Problem 1 of the IberoAmerican Mathematical Olympiad 1988
The measures of the angles of a triangle is an arithmetic progression and its altitudes is also another arithmetic progression. Prove that the triangle is equilateral.
Let I, J, and K be the feet of A, B and C to BC, AC and AB, respectively. Now let
BC = a, AC = b, AB = c, AI = d, BJ = e, CK = f, BI = g, CJ = i and BK = h. Also let
∠BAC = α, ∠ABC = β and ∠ACB = γ.
Assume α is the smallest angle of the triangle and ε is the angle of common difference.
We have
β = α + ε, γ = α + 2ε but the sum of the angles is 180°, we then have 3(α + ε) = 180°
or β = α + ε = 60° and α = 120° – γ. Now we need to prove a = c for the triangle ABC
to be equilateral.
Since β = 60°, we have a = 2h, c = 2g and f² = a² – h² = 3h² or f = h sqrt(3) = a *sqrt(3)/2
Similarly d = c *sqrt(3)/2 and since d, e, and f form another arithmetic progression, we have
e = (f + d)/2 = (a + c)*sqrt(3)/4 (*)
We also have sinα = e/c and sinγ = e/a or
sinα = sin(120° – γ) = sqrt(3)/2 cosγ + ½ e/a = e/c (**)
but cosγ = i/a, (**) becomes sqrt(3)/2 i/a + ½ e/a = e/c (***)
Apply Pythagorean’s theorem to right triangle BJC, we have i = sqrt(a² – e²)
Now substitute i and e from (*) to (***), we have
a4 + c4 + a3c + ac3 – 4a²c² = 0 or
(a –c)² (a² + 3ac + c²) = 0 or a = c
and the problem is solved.
Leave a Reply
Xem thêm : Đố vui để học
- Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam (tiếp theo) (08/01)
- Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam 2014 (05/01)
- Đề thi chọn đội tuyển toán của nước Mỹ (tiếp theo) (13/12)
- Đề thi chọn đội tuyển toán của nước Mỹ (09/12)
- Đề thi giỏi toán thế giới 1992 (09/11)
- Đề thi giỏi toán Hàn Quốc 2012 (09/11)
- Năm mới nói chuyện tuổi (22/05)
- Toán xa quê – Bài giải (22/12)
- Bài toán từ quốc gia Iran (03/11)
- Toán nhẩm: Giờ đi ăn trưa (02/08)
- Toán vui: Tắt kè (06/07)
- Hỏi về toán (24/05)
- Bài giải: Toán thi vào đại học Nhật Bản (26/03)
- Bài giải: Dãy số nguyên dương (23/03)
- Toán Xuân 2011 – Bài giải (08/02)
- Friday puzzle (08/10)
- Đố vui (23/09)
- July Puzzle (21/07)
- Đố tính nhẩm cuối tuần (23/05)
- Những bài giải cho kỳ thi toán Hoa Kỳ 2010 (29/04)
- Bài thi toán châu Mỹ thuộc địa 1988 (25/04)
- Bài thi giỏi toán Hoa Kỳ năm 1996 (23/04)
- Bài thi giỏi toán Trung Quốc 2010 (07/04)
- Bài thi giỏi toán Canada 2010 (31/03)
- Weekend math problem (26/03)
- Bài thi giỏi toán Ái Nhĩ Lan 2007 (13/03)
- Bài giải bài toán vô nghiệm (05/02)
- Bài Toán Xuân số 2 (05/02)
- Bài toán vô nghiệm (02/02)
- Giải bài toán Xuân 2010 (01/02)
- Bài toán không gian ba chiều (31/01)
- Bài giải cho bài toán hình 49ers (30/01)
- Bài giải cho phương trình 2a² = 3b³ (29/01)
- Bài giải toán Xuân 2010 (28/01)
- Friday the 13th (14/11)
- Bài giải: Tìm nghiệm số (13/11)
- Uống bia tính tuổi (10/11)
- Marriage Council (11/10)