Trang chủ Saturday, December 4th, 2021

Bài giải cho bài toán hình 49ers

[ Saturday, 30 January, 2010 ]

Theo lời yêu cầu của BBT, một số bài toán quốc tế và bài giải nên được đăng lên website của chúng ta để khi các học sinh thế giới search web sẽ tìm ra, và như vậy sẽ làm cho website của chúng ta được nhiều người biết đến. Bài này cũng nằm trong dạng đó:

Đội cầu San Francisco 49ers dự định mua một lô đất hình vuông ABCD tại Santa Clara (sic) để xây sân vận động và chỗ đậu xe cho khán giả. Phần sân vận động là một tứ giác với một điểm U trên cạnh AB (U khác với A hoặc B) và điểm đối diện V trên cạnh CD (V khác với C hoặc D). Hai điểm kia của sân vận động là P và Q. P là giao điểm của AV và DU; Q là giao điểm của BV và CU. Sân vận động PUQV phải có diện tích lớn nhất. Bạn giúp đội 49ers tìm vị trí của hai điểm U và V sao cho diện tích sân vận động được lớn nhất?

Bài này nguyên là bài 3 của kỳ thi giỏi toán Canada năm 1992 như sau

Problem 3 of the Canadian Mathematical Olympiad 1992

In the diagram, ABCD is a square, with U and V interior points of the sides AB and CD respectively. Determine all the possible ways of selecting U and V so as to maximize the area of the quadrilateral PUQV.

Solution

Let the side of the square be a. From P and Q draw perpendiculars to AD and BC, respectively, and let

PE = p and QF = q. Let’s also denote (ABC) the area of shape ABC.

Note that the area of the quadrilateral PUQV is maximum when the total of the shaded areas is minimum.

It’s easily seen that the total areas shaded with honey and bricks (AUD) + (BUC) = ½a ( AU + UB) = ½a² and is constant. So now the total areas shaded with squares (PDV) + (QVC) must be minimum.

But also note that (PDV) + (QVC) = (ADV) + (BCV) – (APD) – (BQC) =     ½a² – (APD) – (BQC)   

so (PDV) + (QVC) is minimum when (APD) + (BQC) is maximum.

(APD) + (BQC)  = ½ a( p + q) so the requirement now is for p + q to be maximum.

Since both EP and QF || with the vertical sides of the square, we have

p/ AU = DE /a = (a – AE) / a = 1 – AE /a = 1 – p /DV             or         p [(AU + DV)/(AU x DV)] = 1

or                     p  =  (AU x DV) / (AU + DV)

Similarly,          q  =  (BU x VC) / (BU + VC)

                        p + q  =   AU x DV   +  BU x VC   =  

                                        AU + DV       BU +VC

AU xDV xBU + AU xDV xVC + AU xBU xVC + BU xVC xDV   = 

            AU x BU  + AU x VC + DV x BU + DV x VC

AU x BU (DV + VC)  + DV xVC (AU + BU)    =   a (                AU x BU  + DV x VC                   ) 

AU x BU  + AU x VC + DV x BU + DV x VC            AU x BU  + AU x VC + DV x BU + DV x VC

Now divide both numerator and denominator by sum of products AU x BU  + DV x VC, we have

p + q = a / ( 1 +  AU x VC + DV x BU  )

                           AU x BU  + DV x VC

so now for p + q to be maximum, AU x VC  + DV x BU   has to be minimum. Let it be k.

                                                       AU x BU  + DV x VC

But  AU  = a – BU  and   DV = a – VC,   and  k = AU x VC  + DV x BU   becomes

                                                                                AU x BU  +  DV x VC

k =  (a – BU) VC + (a – VC) BU  =   a (VC + BU) –  2 VC x BU   =

        (a – BU) BU + (a – VC) VC      a (VC + BU) – (VC² + BU²)

a (VC + BU)   –               2 VC x BU   =   1 / [ 1  –   (VC      –         BU)²    ]  

    a (VC + BU) – 2 VCxBU – (VC – BU)²                  a(VC+BU) – 2VCxBU

for k to be minimum the denominator 1 – (VC – BU)² / [ a (VC+BU) – 2VCxBU ]   has to be

maximum and (VC – BU)² / [ a (VC+BU) – 2VCxBU ]   to be minimum. Note that the denominator

is not zero, and the square (VC – BU)² is always greater than or equal to zero, and it’s a minimum

when it’s zero or when VC = BU.

So to maximize the area of the quadrilateral PUQV, U and V has to be on a horizontal line

between the top and bottom sides of the square ABCD. The maximal area of PUQV is then equal

                                     a²  –  ½ a² – ½ (a/2) x a =  ¼ a²

Leave a Reply

Click vào icon để chọn thêm vào bài thảo luận của bạn.

http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/bye.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/good.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/negative.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/scratch.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wacko.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/yahoo.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/cool.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/heart.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/rose.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/smile.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/whistle3.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/yes.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/cry.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/mail.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/sad.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/unsure.gif 
http://thuanan.net/wp-content/plugins/wp-monalisa/icons/wink.gif 
 

Xem thêm : Đố vui để học

realizare site web grafica personalizata | optimizare seo